Pracował w walcowni w Ostrowcu i aktywnie działał w Organizacji Bojowej PPS, a za napad na carski konwój z pieniędzmi pod Rogowem w 1906 r. został skazany na karę śmierci. Ponad 10 lat przebywał na katordze, a po powrocie walczył z bolszewikami w 1920 r. i działał jako polityk i poseł PPS.
Po wybuchu II wojny światowej, jako prezydent Łodzi, patronował powołaniu Łódzkiego Komitetu Społecznego Niesienia Pomocy Żołnierzom i ich Rodzinom. 4 września 1939 r. zwrócił się do władz wojskowych z wnioskiem budowy okopów wokół miasta i zorganizowania batalionów ochotniczych. Propozycja została odrzucona, a rozkaz zmuszał mężczyzn do 50. roku życia do ewakuacji na wschodnie tereny RP. Kwapiński został ranny w czasie bombardowania Zamościa. W 1940 r. został aresztowany przez NKWD i zesłany na Syberię.
Po uwolnieniu dotarł do Londynu w 1942 r. i wszedł do rządu gen. Sikorskiego jako wicepremier. Po wojnie był działaczem PPS na emigracji i ministrem w rządzie Arciszewskiego. Zmarł w Penley w Walii i spoczął na londyńskim cmentarzu Streatham Park. Jego szczątki oraz szczątki jego żony Anny i córki Aldony zostały w grudniu 2023 r. sprowadzone do kraju i spoczęły w Alei Zasłużonych na Powązkach.
